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Eponges de Menger et origami

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Date 2010-02-15
Texte 1. Qu'est-ce qu'une éponge de Menger ?
C'est un objet mathématique, décrit pour la première fois en 1926 par le mathématicien Karl Menger. Cet objet est renommé pour être le premier objet fractal à trois dimensions jamais décrit.

Pour construire un tel objet :
- On part d'un cube, qui forme l’éponge d'ordre 0.

- On divise ce cube en 3x3x3 cubes égaux. On supprime les cubes centraux, ce qui détermine trois trous passant à travers les faces du cube. On obtient une « éponge d'ordre 1 », composée de 20 cubes élémentaires.

- On recommence le procédé, en divisant chaque cube en 3x3x3 cubes égaux et en supprimant les cubes centraux de chaque cube initial. On obtient alors une « éponge d'ordre 2 », composée de 400 cubes élémentaires.

- Le procédé est réitéré autant de fois que l'on veut. On remarquera qu’à chaque pas, on réutilise 20 éponges de l’ordre inférieur. Le nombre de cubes croît donc très vite.

L’objet de départ ne change pas de volume, mais perd peu à peu de la matière.

Le résultat est un cube percé de trous de diverses tailles, organisés de manière systématique, et formant des sortes de tunnels permettant de voir à travers l’objet.

2. Réalisation d'une éponge de Menger en origami
On utilise les techniques de l'origami modulaire, caractérisées par les points suivants :
- on plie un certain nombre d'éléments de base, appelés modules élémentaires, qui sont en général obtenus en faisant quelques plis (jusqu'à une dizaine).
- on assemble ces modules élémentaires entre eux par des mécanismes d'accrochage par imbrication. L'utilisation de la colle est fortement déconseillée.

Il existe plusieurs types de modules utilisés pour réaliser des éponges de Menger. En pratique, tout module permettant de construire des cubes et de combiner des cubes entre eux donne une possibilité de réalisation d'une éponge.

Nous allons nous intéresser à un principe de construction est bien connu du monde des spécialistes du pliage de papier (origami). On utilise des rectangles de l'ordre de 1:2, appelés modules. Chaque module est plié en trois pour réaliser un assemblage par imbrication, sans colle.

Pour obtenir un cube, on utilise 6 modules pour le corps du cube et 6 autres modules pour habiller les faces (on parle de pannelage ).

On peut combiner des ensembles de cubes en remplaçant le pannelage extérieur par l'imbrication de modules communs aux divers cubes. L'ensemble, une fois le pannelage des faces visibles terminé, a une rigidité remarquable.
Ce procédé est très gourmand en nombre de modules :
- Eponge d’ordre 0 : 1 cube, 12 modules.
- Eponge d’ordre 1 : 20 cubes élémentaires, 192 modules. La photo montre un exemple réalisé avec des modules 2,5x5 cm , hauteur 15 cm, pliage/montage 4 h.
- Eponge d’ordre 2 : 400 cubes élémentaires, 3456 modules. La photo montre un exemple réalisé avec des tickets de bus, hauteur 30 cm, pliage/montage 30 heures.

Le défi consiste donc à réaliser une éponge de Menger d'ordre 3.

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Eponge de menger d'ordre 1
Façade d'une éponge de Menger d'ordre 2
Maquette papier d'une éponge de Menger d'ordre 3

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